Romlige nevrale nettverk basert på fraktalalgoritmer Biomorph Nets of Nets!

Thomas Kromer, Zentrum für Psychiatrie, Münsterklinik Zwiefalten, G

1 . Sammendrag og introduksjon:

Biologiske sentralnervesystemer med sine massive parallelle strukturer og tilbakevendende projeksjoner viser fraktale egenskaper i strukturelle og funksjonelle parametere (Babloyantz og Lourenøo 1994). Julia-sett og Mandelbrot-sett er de velkjente klassiske fraktalene med all deres harmoni, deterministisk kaos og skjønnhet, generert av itererte ikke-lineære funksjoner. Ifølge algoritmer kan de transponeres, basert på deres geometriske tolkning, direkte i den massive parallelle strukturen nevrale nettverk som arbeider med tilbakevendende anslag. Strukturell organisering og funksjonelle egenskaper til disse nettverkene, deres evne til å behandle data og korrespondanser med biologiske nevrale nettverk vil bli diskutert.

2. Fraktalalgoritmer og deres geometriske tolkning:

2.1 Algoritmene til Julia sett og Mandelbrot settet:

Iterering av funksjonen f (1): z (n + 1) = c + zn2, (c og z som representerer komplekse tall for respektive punkter i det komplekse planet), vil generere de vakre fraktalene til Julia-settene og Mandelbrot-settet (Mandelbrot 1982 , Peitgen og Richter 1986). I henhold til reglene for geometrisk tillegg og multiplikasjon av komplekse tall (Pieper 1985) kan vi tolke funksjon f (1) som en kombinasjon av bevegelse:

Først beskriver begrepet: "+ zn2" i f (1) en bevegelse fra punkt zn til punktet zn2. Mange baner kan koble sammen disse to punktene, det ene er segmentet av den logaritmiske spiralen gjennom zn. (I et polært koordinatsystem får vi en logaritmisk spiral ved funksjonen f (2): r = aec * j. Geometrisk kvadrat av et komplekst tall gjøres ved å doble vinkelen mellom vektoren z (fra null til punktet z) og x-aksen og kvadrering av lengden på vektoren z (2). En dobling av vinkelen j i f (2) vil også føre til en kvadrering av r. Dette beviser at punkt z2 ligger på den logaritmiske spiralen gjennom z.)

For det andre kan den første betegnelsen på f (1), "c" (som betyr tilsetning av komplekst tall c), tolkes som en beskrivelse av en lineær bevegelse langs vektor c.

Begge bevegelsene kan kombineres til en kontinuerlig bevegelse langs spiralbaner (ifølge Poincaré) fra hvilket som helst punkt zn til det aktuelle punktet (c + zn2) = z (n + 1). Vi får to forskjellige felt av baner, ett med segmenter av logaritmiske spiraler som oppstår fra hvert punkt zn, det andre som et felt av (parallelle) vektorer c. Vi kan følge de forskjellige banene vekselvis (fig 2.1c) eller samtidig (fig 2.1d, 2.1e). Ulike alternativer til

visualiser utviklingen er vist i figur (2.1 a-f).

Figur 2.1: Verdiutvikling iht. f (1) - (c = -0,5 + 0,5 * i, z1 = -0,5 + 0,5 * i;

10 iterasjoner): a) isolerte verdier etter hver iterasjon; b) påfølgende verdier tilknyttet; c) å følge banene til begrepene "+ c" og "z 2" vekselvis; d) Baner for den kombinerte bevegelsen iht. f (1); e) baner iht. Poincaré i 3 - dim. parameter - mellomrom, (skjærende punkter med komplekse plan merket med sirkler); f) Banene som stikker ut fra lag I til lag II (som representerer begrepet "z 2" og fra lag II til lag I (iht. begrep "+ c").

2.2 Tredimensjonale algoritmer:

Vi kan overføre prinsippene for funksjon f (1) til romlige algoritmer i et tredimensjonalt koordinatsystem. Fordi kvadrering av en trippel av tall (koordinater på x -, y - og z - akse) ikke er definert, er den direkte "oversettelsen" av f (1) til en tredimensjonal algoritme umulig. Følgende to algoritmer vil overføre noen av de grunnleggende funksjonelle egenskapene til Julia sett til i henhold til tredimensjonale fraktale strukturer:

Algoritme I) I et tredimensjonalt koordinatsystem med x -, y - og z-aksen kan vi legge et plan gjennom hvert punkt z (x1, y1, z1) og x-aksen.

I dette skrå "komplekse planet" kvadrerer vi z n. Til punktet "z (x1, y, z1) 2", som vi dermed finner, kan vi enkelt legge til en tredimensjonal vektor c (x, y, z). Denne tilsetningen av konstantvektoren c vil bringe oss til en punkt z (x2, y2, z2), som vil være startpunktet for neste iterasjon. Denne algoritmen genererer interessante romlige fraktalstrukturer på grunnlag av de todimensjonale Julia-settene som er dannet av den respektive vektoren c.

Algoritme II) Før vi legger til vektoren c i algoritme I, roterer vi det skrå "komplekse planet" sammen med punktet "z (x1, y, z1) 2" rundt x-aksen, til den er vinkel med y-aksen til det tredimensjonale koordinatsystemet vil bli doblet. Etter tilsetning av vektor c kan neste iterasjon startes. Hvis vi kombinerer alle disse tre delbevegelsene (langs den logaritmiske spiralen i det skrå "komplekse planet" fra z (x1, y1, z1) til "z (x1, y1, z1) 2", vil rotasjonen av dette komplekse planet rundt dens x-aksen og den rette bevegelsen langs den tredimensjonale vektoren c) til en bevegelse får vi tredimensjonen!